帰納法でちょっと面白い話

数学的帰納法の「数学的」っていう表現が気に食わないから
別の表現を考えてみようかな？

数学風帰納法……数学っぽい帰納法……
数学風帰納法っていうとミラノ風ドリアを思い出しそうだ。

そういやサイゼリアのお子様メニュー表の表紙になっている間違い探しが
更新されているのに最近気づきました。

昔は10箇所の間違いだったのにいつの間にか6つぐらいになって、
ゆとり仕様がはんぱなかったけど、今回は原点回帰だと思ったのか
間違い箇所が10箇所に増えた上に、一つ一つが分かりづらい。

やた。僕達のサイゼリアが戻ってきてくれたんだ!!
このサイゼリアの間違い探しの難しさは「少女ファイト」でもネタにされています。えぇ
でもそういうことを言いたいんじゃないんだよ。

毎回ゲームの話ばかりしているの飽きるので今日は別の話。

帰納法とはぶっちゃけ定義ぐらいしかしらないけど数学的帰納法ならちょっと説明できる。
まぁでも高校生ぐらいなら知っていることだけど。

例えばある数式をnという一般項で表したとする。
するとそれが本当に正しいのかどうか議論しなければいけない。
実はn=13426のときにだけはその数式では表すことができない。ということが
ないとは限らない。

でも数学者ってほんとうに几帳面だよね。こういうのぐらい直感で分かりそうだけどさ。

例えば初項１、公比3、項数nの等比数列の和は
（（3のn乗）ー１）/2

ということになる。これが正しいのかどうかを数学的帰納法で示すなら、
次の順序を辿ることになる。
(↑の例では普通別のやり方で証明するからね)

１、n=1の場合での真偽を確かめる。
例の場合ではn=1の場合の結果は1になるのでこれは正しい。

2、n=kの場合、与式が正しいと仮定する
まぁ正しいと自分で決めちゃったので、そうなのだろう。つまり
例えば初項１、公比3、項数kの等比数列の和は
（（3のk乗）ー１）/2
ということになる

3,n=kが正しいということを仮定としてn=k+1が正しいことを証明する
まぁなんとかして証明する。

1~3より、与式は正しいことが証明されるのである。これが数学的帰納法。

2と3よりn=kならn=k+1が正しいことになる。1からn=1なら正しいので、
k=1だとするとn=2が正しくなり、n=2が正しいなら3よりn=3が正しいとなる。
ドミノ倒しのように延々と正の連鎖が無限まで続くので、数学的に正しいことが証明される。らしい。

数学的帰納法の利点は証明のやり方がほぼテンプレ化していることにあると思う。
手順がはっきりしているのでそれに沿っていけば複雑な思考などをせずにも証明できちゃうことが
あったりするのだ。それに目標もやたらとはっきりしている。

n=kが既に正しいので、その正しい式にちょっと似ている
n=k+1の場合へと変形させてやればいい。まぁそういうこと。結構便利。

これを使って世界中のみんなは禿げだということをちょっと証明する。
まず人間の頭に生えている髪の毛の数をn本とする。

1,n=0のとき
無論禿げている。

2,n=kのときにはげていると仮定する

3,n=kを仮定としてn=k+1の真偽を考える。
所詮一本生えたところでまだ禿げていることに変りはない。
波平と海平を考えてみろよ。大差ないだろ？

1~3により髪の毛がn本生えていようと人間は禿げで、世界中のみんなは禿げということ。
でもこれってただの皮肉みたいなもので、もっと詳しい人が見れば間違っている箇所がありそう。

終わり。

ちなみに普通の帰納法は実世界にある事象をいっぱい集め、
「こんな事象が集まりました。だからこの法則は正しいです」とするやり方。

これに従うなら東原のあのブログや、戸松神話というのも法則になってしまう。
でもそれって本当に正しいの？とか疑問に思ったなら
↓のサイトに詳しいことが書かれています。

http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/saruTetuFrame.html